Segitiga dan Lingkaran

Standar

Segitiga dan Lingkaran

S e g i t i g a

Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.

K l a s i f i k a s i   s e g i t i g a

Menurut panjang sisinya:

  • Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.

segitiga sama sisi

Segitiga Sama Sisi

  • Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.

segitiga sama kaki

Segitiga Sama Kaki

  • Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.

segitiga sembarang

Segitiga Sembarang

Jenis-Jenis Segitiga

1. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Sudut-sudutnya

Ditinjau dari susut-susutnya, segitiga dibedakan menjadi tiga, yaitu:

a. Segitiga lancip

Segitiga lancip adalah segitiga yang besar tiap sudutnya merupakan sudut lancip atau besar sudutnya antara 0° sampai dengan 90°.

segitiga lancip

sudut lancip,,

b. Segitiga tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu dari tiga sudutnya merupakan sudut tumpul atau besar sudutnya antara 90° dan 180°.

segitiga tumpul

sudut tumpul,,

c. Segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku–siku atau besar sudutnya 90°.

segitiga siku-siku

sudut siku-siku,,

L i n g k a r a n  d a l a m  d a n  l u a r  s e g i t i g a

Suatu lingkaran yang berada di dalam segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut disebut lingkaran dalam segitiga.

jari-jari lingkaran

Rumus jari-jari lingkaran dalam di nyatakan sebagai :

rumus jari-jari lngkaran

ket :

r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga

L adalah luas segitiga

s adalah setengah keliling segitiga.

Suatu lingkaran yang berada di luar segitiga serta keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga disebut lingkaran luar segitiga. Jari-jadi lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan rumus:

jari-jari lngkaran luar sgitiga

dimana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga; a, b dan c adalah tiga sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.

M e n c a r i  l u a s  d a n  k e l i l i n g  s e g i t i g a

luas and keliling sgitiga sama kaki

T e o r e m a  H e r o n

Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.

rumus teorema heron

 luas pelukis

S e g i t i g a  s a m a  s i s i

Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:

luas segiitiga sama sisi

kel. sgitiga SAMA SISI

D a l i l  P y t h a g o r a s

Segitiga siku-siku

dalil pytagoras

Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa :

rumus dalili pytaagorazzz

Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.

L i n g k a r a n

Dalam geometri Euklidean, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Lingkarannn

E l e m e n   l i n g k a r a n

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu:

  • Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
    1. Titik pusat (P)
      merupakan sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.
  • Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
    1. Jari-jari (R)
      merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
    2. Tali busur
      merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB).
    3. Busur (B)
      merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
    4. Keliling lingkaran (K)
      merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
    5. Diameter (D)
      merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
  • Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
    1. Juring (J)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
    2. Tembereng (T)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
    3. Cakram (C)
      merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

P e r s a m a a n  Lingkaran

Suatu lingkaran memiliki persamaan yaitu

rumus persamaan lngkaran

dengan  R\! adalah jari-jari lingkaran dan (x_0,y_0)\!  adalah koordinat pusat lingkaran.

P e r s a m a a n   p a r a m e t r i k

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

x = x_0 + R \cos(t) \!
y = y_0 + R \sin(t) \!

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

L u a s   l i n g k a r a n

Luas lingkaran memiliki rumus

A = \pi R^2 \!

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dA = rd\theta\ dr

dalam koordinat polar, yaitu

koordinat polar

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam R_1\!  dan jari-jari luar R_2\!.

P e n j u m l a h a n   e l e m e n   j u r i n g

Area of a circle.svg

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

L u a s   j u r i n g

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan . Saat θ bernilai , juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

L u a s   c i n c i n   l i n g k a r a n

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R_1\!  dan jari-jari luar R_2\!  , yaitu

A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!

di mana untuk  R_1 = 0\!  rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

L u a s   p o t o n g a n   c i n c i n   l i n g k a r a n

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

K e l i l i n g   l i n g k a r a n

Keliling lingkaran memiliki rumus:

K = 2\pi R\!

P a n j a n g   b u s u r   l i n g k a r a n

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

L = R \theta \!

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!

di mana digunakan

y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

π(Pi)

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

 \pi = \frac K D

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s